Sayfalar

150 Yıllık Önyargı

O gün derse geç kalmıştı. İlk ders matematikti. Hocayı ve arkadaşlarını rahatsız etmemek için kantinde oturmuş, dersin bitmesini beklemişti. Bir sonraki ders için sınıfa girdiğinde, tahtada, sonunda soru işareti bulunan iki işlem gördü. Kalemini defterini çıkarıp hemen not etti, kimsecikler tahtayı silmeden. Diğer dersler bitmiş, eve dönmüştü. Defterinde çözülecek iki tane soru vardı. Defterini açtı, ama sorular bayağı zor görünüyordu. Sınıfta durumu da fena sayılmazdı hani. Uğraştı durdu soruları çözmek için. Hoca bazen böyle ev ödevi verir ve yapılıp yapılmadığını da kontrol etmezdi. Ancak yapanlar mutlaka bunun karşılığını en azından bir iltifatla alırlardı. Bazen nota da etki ederdi tabii bu durum Ertesi gün uzun uğraşlardan sonra çözdüğü soruları koydu hocanın masasının üzerine. Biraz da zor olmuştu hani. Hocanın yüzünde değişiklikler oluyordu işlemi kontrol ederken. “Nasıl buldun bu sonucu?” dedi hoca heyecanla. “Bu soru 150 yıldır çözülemiyordu. Ben dün tahtaya matematiğin problemlerini anlatırken yazmıştım bu soruları. Kendim çözmeyi denemediğim gibi, bizim gibi normal(!) İnsanların da denemeyeceğini düşünüyordum. Enteresan.” dedi. Şaşırarak cevap verdi hocaya: “dün derse geç kalmıştım. Tahtada soruyu görünce diğer ödevler gibi zannettim. Ve biraz da zorlanarak akşam evde yaptım.” Hoca sınıfa döndü: “İşte arkadaşlar, 150 yıllık soru dediğimiz, aslında 150 yıllık ön yargı imiş.” Ah biz de ön yargılarımızdan kurtulabilsek, 2000 yıllık soruları ve sorunları da çözeriz herhalde.

Matematik, artık hayat kurtarıyor!



Matematik ve istatistiksel modeller, artık modern tıbbın bir parçası. Gelişmiş ülkelerde kanser, kalp krizi, AIDS gibi hastalıkların teşhis ve tedavisinde kullanılan matematiksel tıp disiplini, Türkiye için yeni bir alan.

Bu dersin bize ne faydası var?’ Matematik öğretmenlerinin en çok karşılaştığı sorulardan biri bu. Çoğumuz matematiği anlamaya çalışmak yerine bu sorunun cevabına kafa yorduk, eğitim sürecinde. Günlük hayatımızda basit hesapların dışında yeri yoktu çünkü! Hocaların “Matematik muhakemeyi geliştirir.” sözü ise ikna edici gelmiyordu. İşte şimdilerde bir ezber bozuluyor. Gelişen teknolojiyle matematik de hayatın içinde yer almaya başlıyor. Daha doğrusu, bu gerçek, matematiğe mesafeli duranların bile anlayabileceği şekilde kendini gösteriyor artık.

Tıptan işletme yönetimine kadar birçok farklı disiplinle ara kesit oluşturan bu bilim dalı, önemini daha da artırmış durumda. Örneğin tıpla birleşmesinden oluşan yeni ‘matematiksel tıp’ bilimi erken tanıda, hatta tedavide önemli bir işlev görüyor. Matematiksel tıbbın geliştirdiği yöntemler, kanser ve kalp hastalıklarından hücre modellerine kadar tıbbın birçok alanında kullanılıyor. Matematiksel yaklaşımlar klinik çalışmalarda olduğu kadar, hastane ve sağlık kuruluşlarının yönetimlerinde de başarılı sonuçlar veriyor.

ABD, Kanada, İngiltere ve İsrail gibi bazı ülkeler matematiksel tıp disiplinine ayrı bir önem veriyor. Üniversitelerde açılan ayrı fakülte ve enstitülerle yetinmeyen bu ülkeler büyük bütçeli özel araştırma merkezleri de kuruyor. Hatta bazı hastaneler matematiksel tıp üzerine ayrı birimler açıyor. Klinik ve sağlık sistemlerinde kullanılması durumunda etkinlik ve verimliliği artıran, özellikle çağımız hastalıklarından kanser, AIDS ve kalp sorunlarının tedavisinde kullanılan bilim henüz ülkemizde bilinmiyor. Medikal istatistik alanında çalışmalarıyla bilinen Tennessee Üniversitesi İstatistik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Hamparsum Bozdoğan (64), bu bilimin daha da gelişeceğine, tıbba önemli katkılar sağlayacağına vurgu yapıyor. Tabii bir de hatırlatmada bulunuyor: “Türkiye’deki sağlık sektörü ve kamunun bu alana yatırım yapması ülke için önemli bir adım olur. Bu konuda başarı sağlanabilmesi için tıp, matematik, istatistik ve veri madenciliği bilimleri ile uğraşan bilim adamlarının ortak çalışma yapması gerekiyor. Bu şekilde başarı sağlanır ve Türkiye bu alanda geri kalmamış olur.”

Bu noktada akla bazı sorular geliyor: Matematiksel modeller tıpta nasıl kullanılıyor? Matematiksel tıp insanoğluna ne gibi faydalar sağlayacak? Bu ve benzeri soruları Türkiye’de ‘matematiksel tıp’ ve ‘sağlık sistemleri mühendisliği’ alanlarında çalışan sayılı akademisyenlerden Doç. Dr. Eyüp Çetin’e sorduk. İstanbul Üniversitesi İşletme Fakültesi Sayısal Yöntemler Anabilim Dalı Öğretim Üyesi Doç. Dr. Çetin’in (34) anlattıkları bu bilim dalının anlaşılması açısından oldukça önemli.

-Matematiksel yaklaşımlar sağlık alanında ne ifade ediyor?


Tıbbi kaynakların son derece kısıtlı olması, var olan kaynakların da etkin kullanılamaması sonucu dünyada her yıl yüz binlerce kişi hayatını kaybediyor. Tıpta ve sağlık sistemlerinde sayısal (kantitatif) tekniklerin kullanılması ile hasta kayıpları azaltılabiliyor. Yani hayat kurtarılıyor. Matematiksel ve istatistiksel yöntemlerin aktif hâle getirilmesi önlenebilir hataları da büyük ölçüde azaltıyor. Bir araştırmaya göre, önlenebilir hataların yüzde 98’inin sistemden kaynaklanıyor. Dolayısıyla, hem klinik uygulamaların hem de sağlık sistemlerinin etkinliğinin sorgulanması gerekiyor. Bu noktada, matematiksel modeller imdada yetişerek tıpta ve sağlık hizmetleri planlamalarında çok etkili bir araç oluyor.

-Matematiksel modeller nasıl hayat kurtarabiliyor?

Günümüzde tıp ile matematiğin kesiştiği alanlar arttı. Matematiksel bilimler tıbbın klinik problemlerinin çözümünde etkin olarak kullanılıyor. Mesela, artık ‘matematiksel onkoloji’ adı verilen bir alt disiplin doğdu. Bu bilim dalı tümörün gelişimi, davranışlarının tanımlanması, incelenmesi, teşhisi ve tedavisinde destekçi. Çok başarılı uygulamalar var. Kanser prognoz yöntemleri, anjiyogenez, pH düzenleme, hücre-hücre yapışması, hücre-ilaç etkileşimleri, radyoterapi ve kemoterapi planlama akla ilk gelenler. Örneğin, ölümcül gliyoblastom (beyin tümörü) vakasında kullanılmak üzere 2000’de geliştirilen bir diferansiyel denklemden oluşan matematiksel model tedavide başarı sağladı. Geliştirilen bu model tümörün hangi yöne doğru yayılacağını çok sıhhatli bir şekilde ortaya koyuyor. Böylece, radyoterapi ve cerrahi operasyonlar daha başarılı planlanarak, hastanın daha uzun yaşaması sağlanıyor.

-Hastalıkların teşhisinde bu yöntemler nasıl kullanılıyor?


Başarılı uygulamalar var, teşhis ve tedavide. Örneğin prostat kanserinde biyopsi iğnelerinin sayısı ve hangi bölgeye hedefleneceği sorunu vardır. Doğal olarak mümkün olan az iğne sayısı ile en fazla oranda kanserli hücreyi yakalamak arzu edilir. 2003’te ABD’de yapılan bir çalışmada, prostat kanserini teşhis etme olasılığını maksimize eden bir optimal biyopsi protokol modeli geliştirildi ve daha az iğne ile daha yüksek oranda kanserli hücreler teşhis edilebildi.

-Peki tedavide durum nasıl?

Şüphesiz birçok matematiksel model var literatürde. 2006’da yaptığımız ve ABD’de önemli bir dergide yayımlanan çalışmamızı örnek olarak verebilirim. Bu çalışmada kanser hücrelerinin toplam tahribatını maksimize ederken aynı zamanda doza bağlı tüm yan etkileri ve maliyetleri minimize ettik. Biliyorsunuz, kanser tedavisindeki yan etkiler ileride ölümcül vakalara sebep olabiliyor. Geliştirdiğimiz model her ne kadar immüno, kemo ve radyoterapiden oluşan kompakt bir tedavi modeli olsa da mesela radyoterapi modeline kolayca indirgenebilmekte.

-Başka ne gibi klinik uygulamalar var?

Matematiksel modeller genel olarak kanser üzerinde yoğunlaşıyor. Ancak diğer klinik alanlarda da varlık gösterebiliyor. Örneğin tıbbi biyoloji, nöroloji, pediatri ve psikiyatride sayısal yöntemler kullanılıyor. Matematiksel tıp açısından kardiyoloji açık bir alan.

-Modellerin hastane ve sağlık kuruluşlarının yönetiminde de etkin kullanıldığını söylediniz. Bunu biraz açar mısınız?

Karar verme probleminin olduğu hemen her yerde matematiksel modeller kullanılabilir. Optimal hastane yeri seçimi, hekim/hemşire nöbetlerinin çizelgelenmesi, optimal personel atama, optimal fiyatlandırma, hasta kuyruklarının analizi, ameliyathane hizmetlerinin optimizasyonu, hastanelerde enfeksiyon kontrolü, etkinlik analizleri gibi birçok probleme çözüm bulabiliyoruz sayısal yaklaşımlarla. Diğer taraftan, epidemiyolojik, aşı ve biyoterör modelleri ile kan ve organ dağıtım modelleri gibi çalışmalarla sağlık hizmetlerinin makro planlaması yapılabiliyor. Örneğin, en son geliştirdiğimiz bir kan bankası lokasyonu modeliyle, kan bankalarının konuşlanacağı bölgeler optimal olarak öneriliyor. Matematiksel tekniklerle -hastalığın teşhis ve tedavisinden tutun, makro sağlık sistemine kadar- tıbbın her alanında yaklaşık yüzde 10-40 civarında iyileştirmeler sağlanabiliyor.

- Örnek verebilir misiniz?

2008’de açıklanan bir çalışmaya göre; 1999-2000 arasındaki verilerden New York City’de sadece ambulans gecikmelerinden dolayı akut miyokardiyal infarktüs (kalp krizi) sebebiyle ölen hastaların sayısı 201-390 arasındaydı. Söz konusu dönemde kalp krizinden 9743 hasta hayatını yitirmiş. Bunun üzerine ambulans sisteminin daha etkin çalışması için matematiksel formüller geliştirilmiş. Böylece ölümlerin azaltılması hedeflenmiş.

-Siz matematiksel tıp alanında çalışıyorsunuz; ama Türkiye’de bu bilim pek bilinmiyor… 

Maalesef bilinmiyor. Dünyada bu disiplinlerarası konuya gerçekten yoğun ilgi var. Ülkemizde de bu disiplinler arasındaki geçişlerin süratle sağlanması gerekiyor. Artık matematik, istatistik ve veri madenciliğinin de katkısıyla çoğu tıp problemine çözüm getirilebiliyor. Hastane, sağlık kuruluşları ve sağlık politikası yöneticileri de sayısal yöntemlerin gücünün farkına yeterince varmış değil henüz. Daha iyi hasta memnuniyeti, daha mutlu sağlık çalışanı, etkin sağlık servisi ve daha çok kâr için gerekli olduğunu düşünüyorum kantitatif yaklaşımların.

- Bu disiplinin Türkiye’de de etkin kullanılması için neler yapılmalı? 

İÜ Onkoloji Enstitüsü’nde verdiğim ‘matematiksel onkoloji’ konulu konferansta ve benzeri toplantılarımda tıpçıların yakın ilgisini gördüm. Dolayısıyla dünyada olduğu gibi ülkemizde de, matematik ile tıp bir araya getirilebilir. Bu alanda ortak kongre, konferans düzenlenebilir. Ayrıca, tıp fakültelerinde ve lisansüstü sağlık bilimleri enstitülerinde sayısal derslerin artırılması yoluna gidilebilir. Dünyaya paralel olarak bu ilişki kurumsal hâle getirilebilir. Örneğin, University of Nottingham’daki ‘Center for Mathematical Medicine and Biology’ gibi merkez ya da enstitüler kurulabilir. Üniversitelerde ya da kurumsallaşmış hastanelerde bu konuda birimler kurulmalı. Dünyaca ünlü Harvard Business School’da 2005’te Sağlık İnisiyatifi birimi kuruldu. Bu birim son zamanlarda, yakınlarına böbrek vermek isteyip de böbreği uymayanlar arasında ‘böbrek değişimi’ne imkân tanıyan bir matematiksel model geliştirdi ve bu proje New England’da başarılı şekilde uygulanıyor.




MATEMATİKSEL TIBBIN KİTABINI YAZIYOR

İstanbul Üniversitesi (İÜ) Öğretim Üyesi Doç. Dr. Eyüp Çetin, Marmara Üniversitesi Matematik (İngilizce) lisansının ardından 2000 yılında Lefke Avrupa Üniversitesi’nden İşletme Master derecesi aldı. İÜ’de 2001’de başladığı Sayısal Yöntemler alanındaki doktorasını 2004’te tamamladı. 2008’de doçent unvanını alan Çetin, hâlen aynı üniversitenin Sayısal Yöntemler Anabilim Dalı’nda araştırmalarına devam ediyor. European Journal of Pure and Applied Mathematics Dergisi’nin kurucu editörlüğünü yürüten Çetin, Who’s Who in the World 2009’da yer aldı. Çetin bugünlerde, Türkçe literatürde bir ilk olacak ‘matematiksel tıp ve sağlık sistemleri’ adlı kitabını basıma hazırlıyor.




Prof. Dr. Hamparsum Bozdoğan (*) KENDİ YÖNTEMİYLE KALP KRİZİ RİSKİNİ TAHMİN EDİYOR

“Eğer tıp, istatistik ve veri madenciliği gibi teknikleri kendi alanlarında kullanabilirse gelecekte kanser ve kalp krizi gibi birçok hastalık erken teşhis sayesinde ilaçla tedavi edilebilir. Böylece pahalı ameliyatlara gerek kalmayabilir. Mesela biz sağlıklı bireylerin kalp krizine yakalanma riskini ortaya çıkaran orijinal bir istatistiksel model geliştirdik. Bu teknik benim geliştirdiğim Bilgi Karmaşıklığı Kriteri’ni (ICOMP) kullanıyor ve kalp-damar verilerini analiz ederek, muhtemel kriz riskini ortaya koyuyor. Mesela göğüs kanseri üzerinde de çalışmalarımız var. Teşhisinde iyi bir lezyonu tümör gibi tanımlamayı önlemek ve iyi huylu lezyonlar için önerilen biyopsi sayısını azaltmak için bilgisayar destekli teşhis sistemlerine yardımcı olacak bir veri madenciliği tekniği geliştirdik. Böylece hastaların göğüs kanseri teşhisi için biyopsiye girme oranını azalttık. Bu bağlamda şunu söylemem gerekir ki, ABD’deki sağlık kuruluşları hem klinik hem de yönetsel anlamda en iyi hizmet için sayısal teknikleri etkin ve yoğun biçimde kullanıyor. Bu açıdan Türkiye’de de karar vericiler matematiksel ve istatistiksel yaklaşımların önemini algılayıp kısa vadede sağlık sektörüne entegre etmeliler. Bu yolla halka kaliteli hizmet daha hızlı ve ekonomik olarak sunulabilir.”

(*)Tennessee Üniversitesi İstatistik Bölümü Öğretim Üyesi, Jefferson Prize Ödülü sahibi. 


30 Mart 2009 / MESUT ÇEVIKALP

Matematik Şart


Okula başladığımız ilk günlerde matematik sayılardan ibaretti. Her gün yeni bir sayı öğreniyorduk. 3 sayısını öğrendiğimizde; bir sonraki sayının kaç olacağını merak ediyorduk. Ertesi günkü derste öğretmenimiz; ‘‘Çocuklar bu gün yeni sayımızı işleyeceğiz.’’ dediğinde, 3 ü çoktan geride bırakıyor, şimdilik sadece yazılışını ve okunuşunu, yıllar sonra ise; 1 in 3 fazlası, 2 nin karesi, 16 nın karekökü olduğunu öğreneceğimiz 4 ile tanışıyorduk.


Gün gelip te önünde çizgi olan negatif sayıları öğrenince; artık küçükten büyüğü çıkarabiliyor, “Küçükten büyük çıkmaz yavrucuğum” diyen öğretmenlerimizi sevgi ve saygıyla anıyorduk. 777777777 sayısının 5 ile bölümünden kalanı, salı gününden 1000 gün sonraki günü, içinde a bulunan alt kümelerin sayısını ve daha bir çok soruyu; dolmuşta elden ele gönderdiğimiz ücretin üstü geri gelmeden çözebiliyor, 4 elemanlı bir kümede 5. elemanın olamayacağına tüm kalbimizle inanıyorduk.


İrrasyonel sayıları da öğrenince, “öğrenecek başka bir şey kalmamıştır heralde! Artık gidelim.” diye düşünürken bilinmeyen sayıları da öğreneceğimiz hiç aklımıza gelmemişti. Öğretmenimiz, bilinmeyen sayılara x diyeceğimizi ve bundan sonra x i arayacağımızı söylediğinde uzun süre kendimize gelememiş, zavallı x şimdi nerededir, ne yiyip ne içiyordur diye düşünmüş, bulunsa diye dua bile etmiştik. x i her kaybolduğunda çabucak bulmayı öğrenen bizler, bulmuşken bari bir de y yi bulalım demiş ve iki bilinmeyenli denklemlerle arkadaş olmuştuk. Defterimize “Karaköklü sayılar” (doğrusu karekök) başlığını attığımız o kara günlerde, nolur beyaz köklü sayılar olmasın bile diyemeden, tahtadaki gözlüklü ve bıyıklı adam (matematik öğretmeni); “Arkadaşlar! 9. sınıfta küp köklü sayıları da göreceksiniz.” cümlesini kurmuş ve bitirmişti bile.


Bazen de dersimiz; sayı, denklem, ebob, kesir yerine hep şekillerle geçiyordu. Derste; doğru, ışın, açı, üçgen, dörtgen, yamuk, çember çizip çizip duruyorduk. Öğretmenimizin tahtaya çizdikleri çembere, bizim defterimize çizdiklerimizse daha çok Afyon Şuhut patatesine benziyordu.


Bir zamanlar yolda yürürken çoraplarımız düşüyor, sevgili annemiz de düşen çoraplarımızı aynı hizaya getirmek için önümüzde diz çöküyordu. Ama artık büyümüş ve kocaman olmuştuk. Sesimiz daha gür, boyumuz daha uzun, ayakkabımızın numarası ve çözebildiğimiz denklemlerin derecesi daha büyüktü. Karanlık odalara girmekten, bize doğru gelen köpekten, ya da ansızın karşılaştığımız bir timsahtan eskisi kadar korkmuyorduk.


Artık okul günlerimiz, adına lise denilen daha görkemli binalarda geçiyordu. Öğretmenlerin bize olan sevgisi ve bizim onlara olan saygımız, yazılıların zorluk derecesi, arkadaşlıklardaki saflık ve dürüstlük, hepsinden önemlisi “matematik” eskisi gibi değildi. Mantık, kartezyen çarpım, bağıntı, fonksiyon lisede tanıştığımız ilk konulardı. Bir şeyle daha tanışmıştık. Bazılarımızın yazılılardan aldığı sıfır notuyla. Bu notu şimdiye kadar almayı hiç başaramamıştık. Sinüs, kosinüs, tanjant, sekant; 10. sınıftaki kavramlarımızdı. Hocamız tahtaya, sin2x + cos2 x = 1 diye yazdığında, sıra arkadaşımıza 1 böyleyse acaba 100 nasıldır diye fısıldıyorduk. Çaprazda oturan arkadaşımız ise, “Ey x!. Seni bir çok eşitlikte gördüm ama böyle bir eşitlikte görmeyi inan ki beklemiyordum.” diyordu. Artık aylarca süren konularımız oluyordu. Özellikler, soru türleri, soruların çözümleri, öğrenmemiz gereken formüller, özdeşlikler artık daha uzundu. En son 1 metre boyundaki aşağıdaki özdeşliği öğrenmiştik.




Matematik Hocamız, isterse ne kadar acımasız olacağını bu özdeşliği yazarak ispatlamıştı. Sınıftaki herkes adeta şok geçiriyordu. “Kaçalım arkadaşlar” diyen bir ses, “İmdat” diyen bir başka ses, “abartmayalım lütfen!” diyen bir başka ses duyulmuştu.


Annemizin kucağından inip sınıfımızın sırasına oturmakla başladığımız matematik öğrenme serüvenimiz; aldığımız her nefesle, eskittiğimiz her lacivert okul ceketi ve gri okul pantolonuyla, bazen kendiliğinden kopan gömlek düğmeleriyle, annelerimizin en sıkıntılı günlerinde dahi ütülemekten bir türlü vazgeçmediği okul etekleriyle, sucuktan daha çok salçanın tadına vardığımız kantin tostlarıyla, son anda ertelendiğinde çalışkan arkadaşlarımızın üzüldüğü tembel arkadaşlarımızınsa sevindiği yazılılarla, kopya çekerken veya verirken göz göze geldiğimiz öğretmenlerle, babamızın cebimizden eksik etmediği okul harçlıklarıyla, berberde okul traşı için beklediğimiz sıralarla, hesap edilemeyecek kadar çok harcadığımız kalem uçları ile kalemtraşın içinde kalan kalem tortuları ve günün birinde mutlaka tükenen tükenmez kalemlerle, kaybolmasın diye boynumuza astıkları silgilerle, az sevdiğimiz pazartesi ile çok sevdiğimiz cuma günkü İstiklal Marşlarıyla, içinde evimizden daha çok zamanımızı geçirdiğimiz ve sürekli yolunu aşındırdığımız okulumuzla, bizi sınavlara hazırlayan biraz da paramızı alan dersanemizle gelişmiş ve bu günlere gelmiştir.


Matematik gelişen teknolojiye hız kazandırmaktadır. Düşmeyen uçaklar, düşse de içindekilerin düşmediği ya da ölmediği uçaklar, daha az ölümlü trafik kazaları, amansız hastalıklara çare bulunması, ikide bir grip olan kuşlar, bizi pikniğe gidemez hale getiren keneler, gelişse hepimiz için iyi olacak olan ekonomi, sağlam olması gereken binalar, açlıktan çocukların ölmediği Afrika kıtası, kısacası daha mutlu bir dünya sizlerin matematik bilgisiyle yakından ilgilidir.


Ümit ettiklerinizin gerçekleşmesi temennisiyle...

Güncel 2017 YGS Matematik Konuları

2013 - 2014 Eğitim Öğretim yılında Müfredatta yapılan değişiklikler 2017 YGS ve LYS ye yansıyacak.

Müfredat değişikliği ile beraber 9. ve 10. Sınıf temel dersleri teşkil ettiği için daha önceleri LYS konusu olan birkaç konu YGS ye dahil olmuştur. Bazı konular ise kapsam dışı bırakılmıştır. Konular bazı yayınevlerinin çıkarmış olduğu 2017 YGS kitaplarından temin edilmiştir.

1. Sayılar
2. Sayı Basamakları
3. Bölme ve Bölünebilme
4. OBEB-OKEK
5. Rasyonel Sayılar
6. Basit Eşitsizlikler
7. Mutlak Değer
8. Üslü Sayılar
9. Köklü Sayılar
10. Çarpanlara Ayırma
11. Oran Orantı
12. Denklem Çözme
13. Problemler
14. Kümeler
15. Fonksiyonlar
16. Permütasyon
17. Kombinasyon
18. Binam
19. Olasılık
20. İstatistik
21. 2. Dereceden Denklemler
22. Karmaşık Sayılar
23. Parabol
24. Polinomlar

Hangi konulardan artık soru çıkmayacağını, hangi konulardan ise yeni yılda soru çıkacağını inceleyelim.
MATEMATİK

Kaldırılan konular

· Taban aritmetiği konusu,
· İşlem konusu,
· Bağıntının özellikleri,
· Karmaşık sayılar konusunun kutupsal gösterimi kısmı,
· Matris determinant,
· Toplam çarpım,
· Ters trigonometri fonksiyonlarının türevi ve integrali
· İntegralde hacim hesabı
· Limitte 0/0 ve sonsuz/sonsuz dışındaki belirsizlik türleri
· Ters dönüşüm formülleri
· L Hospital

Eklenen Konular

· Öklit algoritması
· Bilinçli tüketim aritmetiği

GEOMETRİ

Kaldırılan Konular

· Çemberde uzunluk kuvvet ekseni
· Köşegen sayısını veren formüller
· Seva ve Menelaus teoremleri
· Karnot teoremi
· Küre kapağı, küre kuşağı, küre parçası
· Dönüşümlerden homoteti
· Çember analitiğinden kuvvet ekseni çember demeti
· Konik ayrıtları
· Uzay analitiği
· Fraktal kaplama süsleme

Eklenen Konular

· Trigonometri – 1
· Doğrunun vektörel denklemi
Ayrıca önceden YGS sınavının kapsamında olan Vektörel ve parametrik denklemler konusu artık LYS kapsamında anlatılacak.
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...